环节二

考纲传真

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

真题再现;

知识梳理

知识点　平面向量的数量积

1．向量的夹角

2.平面向量的数量积

3.平面向量数量积的运算律

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．

(3)a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示

设非零向量a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，θ＝〈a，b〉．

1．必会结论；(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|.

(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.(3)a·a＝a²＝|a|².

2．必清误区；(1)数量积运算律要准确理解、应用，例如，由a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，两边不能约去一个向量．

(2)向量a，b的夹角为锐角，则有a·b>0，若a·b>0，则向量a，b的夹角为锐角或0°.

(3)向量a，b的夹角为钝角，则有a·b<0，若a·b<0，则向量a，b的夹角为钝角或180°.

考点分项突破

考点一平面向量数量积的运算

1．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝(　　)

A．－1   B．0  

C．1   D．2

【解析】　法一　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a²＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a²＋a·b＝4－3＝1.

法二　∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.【答案】　C

2．(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则→(BD)·→(CD)＝(　　)

A．－2(3)a²   B．－4(3)a²    C.4(3)a²   D.2(3)a²

【解析】　由已知条件得→(BD)·→(CD)＝→(BD)·→(BA)＝a·acos 30°＝2(3)a²，故选D.【答案】　D

归纳 1．向量数量积的两种计算方法

(1)当已知向量的模和夹角θ时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos θ.

(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x₁，y₁)，b＝(x₂，y₂)，则a·b＝x₁x₂＋y₁y₂.

2．转化法求数量积

若向量的模与夹角不能确定，则应把向量用已知模或夹角的向量表示，然后再求数量积．

考点二 平面向量数量积的性质

●命题角度1　平面向量的模

1．(2015·浙江高考)已知e₁，e₂是平面单位向量，且e₁·e₂＝2(1).若平面向量b满足b·e₁＝b·e₂＝1，则|b|＝________.

【解析】　∵e₁·e₂＝2(1)，∴|e₁||e₂|cos〈e₁，e₂〉＝2(1)，∴〈e₁，e₂〉＝60°.又∵b·e₁＝b·e₂＝1>0，∴〈b，e₁〉＝〈b，e₂〉＝30°.由b·e₁＝1，得|b||e₁|cos 30°＝1，∴|b|＝3()＝3(3).【答案】　3(3)

2．已知平面向量a·b的夹角为6(π)，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，→(AB)＝2a＋2b，→(AC)＝2a－6b，D为BC的中点，则|→(AD)|＝________.

【解析】　→(AD)＝2(1)(→(AB)＋→(AC))＝2(1)(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|→(AD)|²＝4(a－b)²＝4(a²－2b·a＋b²)＝4×＋4(π)＝4，所以|→(AD)|＝2.

【答案】　2

●命题角度2　平面向量的夹角

3．(2015·重庆高考)若非零向量a，b满足|a|＝3(2)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　)

A.4(π)  B.2(π)  C.4(3π)  D．π

【解析】　由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a²－a·b－2b²＝0.又∵|a|＝3(2)|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|²－|a|·|b|·cos θ－2|b|²＝0，∴3(8)|b|²－3(2)|b|²·cos θ－2|b|²＝0.∴cos θ＝2(2).又∵0≤θ≤π，∴θ＝4(π).

【答案】　A

●命题角度3　平面向量的垂直

(2015·福建高考)设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb.若b⊥c，则实数k的值等于(　　)

A．－2(3)  B．－3(5)  C.3(5)  D.2(3)

【解析】　c＝a＋kb＝(1＋k,2＋k)，又b⊥c，

所以1×(1＋k)＋1×(2＋k)＝0，解得k＝－2(3).【答案】　A

(2015·湖北高考)已知向量→(OA)⊥→(AB)，|→(OA)|＝3，则→(OA)·→(O B)＝________.

【解析】　因为→(OA)⊥→(AB)，所以→(OA)·→(AB)＝→(OA)·(→(OB)－→(OA))＝→(OA)·→(OB)－|→(OA)|²＝0，所以→(OA)·→(OB)＝|→(OA)|²＝|→(OA)|²＝9，即→(OA)·→(OB)＝9.【答案】　9

跟踪训练

1.设单位向量e₁，e₂的夹角是60°，a＝e₁＋e₂，b＝e₁＋te₂，若向量a，b的夹角为锐角，则实数t的取值范围是________．

【解析】　由题意知a·b>0，即(e₁＋e₂)·(e₁＋te₂)>0，化简得2(3)t＋2(3)>0，解得t>－1，由向量a，b的夹角为锐角，得b≠λa，即t≠1.综上知，t>－1且t≠1.

【答案】　(－1,1)∪(1，＋∞)

2．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b⊥c，则t＝________.

【解析】　|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°.

∵c＝ta＋(1－t)b，∴b·c＝ta·b＋(1－t)b²＝t×1×1×2(1)＋(1－t)×1＝2(t)＋1－t＝1－2(t).又∵b·c＝0，∴1－2(t)＝0，∴t＝2.【答案】　2

归纳平面向量数量积求解问题的策略

1．求两向量的夹角cos θ＝|a|·|b|(a·b)，要注意θ∈[0，π]．

2．两向量垂直的应用两非零向量垂直的充要条件是a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|.

3．求向量的模利用数量积求解长度问题的处理方法有(1)a²＝a·a＝|a|²或|a|＝.

(2)|a±b|＝＝.

(3)若a＝(x，y)，则|a|＝.

。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.

在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢

由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。

教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。

引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。

环节三

课堂小结

1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．　

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．　

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

学生回顾，总结.

引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。

环节四

课后作业学生版练与测

学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。